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Das Blume-Capel-Modell nach Martin Blumecite-ref-1[1] und Hans Willem Capelcite-ref-2[2] ist eine Verallgemeinerung des Ising-Modells in der Festkörperphysik. Es beschreibt eine Situation, in der sich die Spins mehrerer wechselwirkender Teilchen parallel, antiparallel oder orthogonal zu einem externen Magnetfeld ausrichten können, womit zusätzlich zum Ising-Modell auch der orthogonale Fall abgedeckt ist. Anders ausgedrückt beschreibt das Blume-Capel-Modell Spins mit einem Betrag s = 1 {\displaystyle s=1} , während das Ising-Modell Spins mit einem Betrag s = 1 2 {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}} beschreibt.

• Definition

• Eigenschaften

• Einzelnachweise

Der dem Blume-Capel-Modell zugrunde liegende Hamilton-Operator H {\displaystyle {\mathcal {H}}} , dessen Eigenwerte die möglichen Energien des Systems sind, lautet:

H = − − D ∑ ∑ i ( 1 − − s i z 2 ) − − J ∑ ∑ ⟨ ⟨ i , j ⟩ ⟩ s i z s j z − − μ μ H ∑ ∑ i s i z {\displaystyle {\mathcal {H}}=-D\sum _{i}(1-s_{i}^{z2})-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}^{z}s_{j}^{z}-\mu H\sum _{i}s_{i}^{z}}

Dabei ist

• D {\displaystyle D} das zero-field splitting, das die Energiedifferenz zwischen dem Singulett s z = 0 {\displaystyle s^{z}=0} und dem Dublett s z = ± ± 1 {\displaystyle s^{z}=\pm 1} angibt

• J {\displaystyle J} die Stärke der Wechselwirkung benachbarter Spins

• μ μ {\displaystyle \mu } das magnetische Moment der Spins

• H {\displaystyle H} die Stärke des externen Magnetfeldes

• s i z {\displaystyle s_{i}^{z}} die z {\displaystyle z} -Komponente des i {\displaystyle i} -ten Spins.

Die Notation unter der Summe soll ausdrücken, dass nur über die jeweils nächsten Nachbarn summiert wird.

Der größte Unterschied zum Ising-Modell ist der zusätzliche, vom Parameter D {\displaystyle D} abhängige Term im Hamilton-Operator. Für nur zwei mögliche Ausrichtungen des Spins wie im Ising-Modell wäre dieser Term eine Konstante und, wie ein konstanter Term in einem Potential, physikalisch bedeutungslos.

Abhängig vom Wert von D {\displaystyle D} nimmt das System verschiedene Grundzustände ein und zeigt unterschiedliches Verhalten beim Phasenübergang.

Bezeichne n {\displaystyle n} die Anzahl der nächsten Nachbarn und N {\displaystyle N} die Anzahl der Spins im System, so gilt:

• Für D > 1 2 n J {\displaystyle D>{\tfrac {1}{2}}nJ} ist der Grundzustand magnetisch ungeordnet und alle Spins liegen orthogonal zum Magnetfeld, s i = 0 {\displaystyle s_{i}=0} . Die Grundzustandsenergie liegt bei E 0 = − − N D {\displaystyle E_{0}=-ND} .

• Für D = 1 2 n J {\displaystyle D={\tfrac {1}{2}}nJ} ist der Grundzustand entartet.

• Für D < 1 2 n J {\displaystyle D<{\tfrac {1}{2}}nJ} ist der Grundzustand vollständig magnetisch geordnet. Das heißt, alle Spins nehmen den Wert s i = 1 {\displaystyle s_{i}=1} an und die Grundzustandsenergie liegt bei E 0 = − − 1 2 N n J {\displaystyle E_{0}=-{\tfrac {1}{2}}NnJ} . In diesem Bereich existiert also eine Curie-Temperatur T C {\displaystyle T_{\mathrm {C} }} , bei der das System von einem magnetisch ungeordneten in einen magnetisch geordneten Zustand übergeht. Dieser Phasenübergang ist

• für − − ∞ ∞ < D < 1 3 n J ln ⁡ ⁡ 4 {\displaystyle -\infty <D<{\tfrac {1}{3}}nJ\ln 4} ein Phasenübergang zweiter Ordnung. Die Curie-Temperatur sinkt von n J k B {\displaystyle {\frac {nJ}{k_{\mathrm {B} }}}} bei D = − − ∞ ∞ {\displaystyle D=-\infty } auf 1 3 n J k B {\displaystyle {\frac {1}{3}}{\frac {nJ}{k_{\mathrm {B} }}}} bei D = 1 3 n J ln ⁡ ⁡ 4 {\displaystyle D={\tfrac {1}{3}}nJ\ln 4} (darin ist k B {\displaystyle k_{\mathrm {B} }} die Boltzmann-Konstante)

• für 1 3 n J ln ⁡ ⁡ 4 < D < 1 2 n J {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}nJ\ln 4<D<{\tfrac {1}{2}}nJ} ein Phasenübergang erster Ordnung, bei dem die Magnetisierung abrupt von Null auf einen endlichen Wert springt. Die Curie-Temperatur sinkt weiter von 1 3 n J k B {\displaystyle {\frac {1}{3}}{\frac {nJ}{k_{\mathrm {B} }}}} bei D = 1 3 n J ln ⁡ ⁡ 4 {\displaystyle D={\tfrac {1}{3}}nJ\ln 4} auf 0 {\displaystyle 0} K bei D = 1 2 n J {\displaystyle D={\tfrac {1}{2}}nJ} .

cite-note-11. ↑ Martin Blume: Theory of the First-Order Magnetic Phase Change in UO2. In: Physical Review. Band 141, Nr. 2, 1965, S. 517–524, doi:10.1103/PhysRev.141.517 (englisch).

cite-note-22. ↑ Hans Willem Capel: On the possibility of first-order phase transitions in Ising systems of triplet ions with zero-field splitting. In: Physica. Band 32, Nr. 5, 1966, S. 966–988, doi:10.1016/0031-8914(66)90027-9 (englisch).